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Mme Müller a-t-elle un fils et une fille ?

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Mme Müller a-t-elle un fils et une fille ?

Mme Müller a conservé en bon état les vêtements pour filles qui ne vont plus à sa fille. Dans le voisinage, Mme Schmidt vit avec ses deux enfants en bas âge. Mme Müller souhaiterait offrir à Mme Schmidt les vêtements dont elle pourrait avoir besoin. Mme Müller demande donc si Mme Schmidt a une fille et apprend que c'est effectivement le cas. Lorsque les amis de Mme Müller apprennent que celle-ci cherche à donner des vêtements, ils lui donnent également les habits que leurs enfants ne portent plus, aussi bien des vêtements pour filles que pour garçons. Mme Müller commence alors à se demander : Mme Schmidt a-t-elle deux filles ou un fils et une fille ?

Qu'en pensez-vous ? Quelles sont selon vous les chances que Mme Müller ait un fils et une fille ?


Solution

Pour illustrer la solution, nous choisissons un modèle d'urne. Toutes les familles sont prises en compte, mais nous ne nous intéressons qu'à celles comprenant deux enfants. Le modèle d'urne s'applique donc uniquement aux familles avec deux enfants. Ces enfants peuvent être nés dans les ordres suivants :

  • Fille, fille (FF)
  • Fille, garçon (FG)
  • Garçon, garçon (GG)
  • Garçon, fille (GF)

Sachant que les probabilités de mettre au monde une fille ou un garçon sont identiques, le même nombre de chacun de ces quatre types de familles est représenté dans l'urne. Supposons qu'il y ait

  • 10 000 familles avec deux filles
  • 10 000 familles ayant d'abord eu une fille, puis un garçon
  • 10 000 familles avec deux garçons
  • 10 000 familles ayant d'abord eu un garçon, puis une fille

Puisque nous savons déjà que Mme Schmidt a une fille, nous retirons toutes les familles ayant deux garçons de l'urne. À présent, celle-ci contient uniquement des familles des types FF, GF et FG, dont chacun est représenté par le même nombre de familles. Dans notre exemple, cela représente 10 000 familles avec deux filles et un nombre total de 20 000 familles ayant un garçon et une fille. Ainsi, la probabilité que Mme Müller ait deux filles est d'un tiers.

Inversement, les chances que Mme Müller ait un garçon et une fille sont de deux sur trois.